Der Satz des Pythagoras – Für Könner

Der Satz des Pythagoras:

So steht er in den Schulbüchern und so wird er von den Schülern auch auswendig gelernt.

Leider berücksichtigen viele Schüler nicht, dass dieser so auswendig gelernte Satz nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt, in denen c tatsächlich die längste Seite (Hypotenuse) ist.

1.) Betrachten wir zunächst das rechtwinklige Dreieck mit a=4cm; b=3cm Abbildung und dem rechten Winkel in C.

Hier ist c tatsächlich die längste Seite des Dreiecks und die Anwendung des Satzes des Pythagoras bereitet in der Regel keine Schwierigkeiten:

b1




Um die Seitenlänge zu ermitteln zieht man jetzt noch die Wurzel:

5cm = c

Die Berechnung der Seitenlänge a in obigem Beispiel bereitet einigen Schülern schon erste Schwierigkeiten, weil sie Probleme mit dem Umstellen einfacher Gleichungen haben.

Vom rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c=5cm sei nun auch die Länge der Kathete a=3cm gegeben.

Das Einsetzen der bekannten Größen führt zu:

Das einfache „Rüberbringen“ der (3cm)² wird oftmals nicht beherrscht, führt aber zum Erfolg:



Wurzelziehen ergibt:
b=4cm

Zum besseren Verständnis des Satzes des Pythagoras und weil es Dreiecke gibt in denen a oder b die längste Seite ist, sollte man sich deshalb folgendes merken:

1. Kathete zum Quadrat + 2. Kathete zum Quadrat = Hypotenuse zum Quadrat

Besonders hilfreich ist dieser Merksatz insbesondere dann, wenn völlig andere Buchstaben benutzt werden.

2.) Als Beispiel betrachten wir nun das Dreieck in der folgenden Abbildung:

b2

Gegeben sei die Länge der beiden kurzen Seiten (Katheten) mit

b=3cm und c=4cm.

Gesucht wird die Länge der Hypotenuse a.

Ansatz:

1. Kathete zum Quadrat + 2. Kathete zum Quadrat = Hypotenuse zum Quadrat





Zur Berechnung der Katheten verfährt man dann wie folgt:

1. Kathete zum Quadrat = Hypotenuse zum Quadrat – 2. Kathete zum Quadrat

2. Kathete zum Quadrat = Hypotenuse zum Quadrat – 1. Kathete zum Quadrat