Lineare Gleichungen einfach erklärt

Etwa ab der 8. Klasse beginnt ihr mit einfachen sogenannten Linearen Gleichungen. Diese Gleichungen haben genau eine Unbekannte – meistens, aber nicht immer als „X“ dargestellt. Diese Gleichungen sind die Vorstufe zu Linearen Funktionen, die schließlich zur Analysis führen, womit ihr euch in der Oberstufe ausführlich beschäftigt.

Ihr bekommt also etwa folgende Aufgabe gestellt:
 
2x + 15 = 5
 
Es gilt herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem X verbirgt, damit die Gleichung stimmt. Dafür müsst ihr Schritt für Schritt X isolieren, also alleine auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen haben.
Ihr schafft das, indem ihr jeweils die Tauschaufgabe durchführt.
 
Zur Erinnerung: Die Tausch- oder Umkehraufgabe von + ist –
                                                                         von * ist :
Beispielaufgabe:

2x + 15 = 5

1.)
Bringt 15 auf die rechte Seite, indem ihr -15 rechnet:
2x         = 5 – 15
2x         = – 10
 
2.)
Zwischen 2x steht ein verstecktes Malzeichen. X bekommt ihr isoliert stehen, wenn ihr also hier durch 2 teilt:
 
x           = -10 : 2
x           = -5
 
3.)
Nun habt ihr die Zahl errechnet, für die X hier Stellvertreter ist und findet durch das Einsetzen der ( -5) heraus, dass ihr richtig gerechnet habt:

2x + 15 = 5
 
Probe:

2 * (-5) + 15 = 5

– 10      + 15 = 5
                5  = 5

Noch ein Beispiel gefällig, vielleicht etwas schwieriger?

Beispielaufgabe: (Hier zeigt euch der Trennstrich hinter der Aufgabe, welche Rechenoperation ihr gerade ausführt.)

3X – 12 + 2X = 10X – 4
 
5X – 12         = 10X – 4/ + 12
5X                = 10X – 4 + 12

5X                = 10X + 8/ -10X
5X – 10X        =       +8

– 5X              =       8/ : (-5)
    X              =       8: (-5)

    X              =       – 1,6

Probe
, um zu überprüfen, ob ihr richtig gerechnet habt. Für jedes X setzt ihr also die errechnete Zahl (-1,6) ein:

3X – 12 + 2X = 10X – 4

3 * (-1,6) – 12 + 2 * (-1,6) = 10 * (-1,6) – 4
      -4,8   – 12 – 3,2           = – 16           – 4
                        – 20          = – 20

Da das Ergebnis auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens identisch ist, stimmt die Gleichung, man sagt dazu auch: sie ist wahr.