Mathematik

Lineare Gleichungen einfach erklärt

Etwa ab der 8. Klasse beginnt ihr mit einfachen sogenannten Linearen Gleichungen. Diese Gleichungen haben genau eine Unbekannte – meistens, aber nicht immer als „X“ dargestellt. Diese Gleichungen sind die Vorstufe zu Linearen Funktionen, die schließlich zur Analysis führen, womit ihr euch in der Oberstufe ausführlich beschäftigt.

Ihr bekommt also etwa folgende Aufgabe gestellt:
 
2x + 15 = 5
 
Es gilt herauszufinden, welche Zahl sich hinter dem X verbirgt, damit die Gleichung stimmt. Dafür müsst ihr Schritt für Schritt X isolieren, also alleine auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen haben.
Ihr schafft das, indem ihr jeweils die Tauschaufgabe durchführt.
 
Zur Erinnerung: Die Tausch- oder Umkehraufgabe von + ist –
                                                                         von * ist :
Beispielaufgabe:

2x + 15 = 5

1.)
Bringt 15 auf die rechte Seite, indem ihr -15 rechnet:
2x         = 5 – 15
2x         = – 10
 
2.)
Zwischen 2x steht ein verstecktes Malzeichen. X bekommt ihr isoliert stehen, wenn ihr also hier durch 2 teilt:
 
x           = -10 : 2
x           = -5
 
3.)
Nun habt ihr die Zahl errechnet, für die X hier Stellvertreter ist und findet durch das Einsetzen der ( -5) heraus, dass ihr richtig gerechnet habt:

2x + 15 = 5
 
Probe:

2 * (-5) + 15 = 5

– 10      + 15 = 5
                5  = 5

Noch ein Beispiel gefällig, vielleicht etwas schwieriger?

Beispielaufgabe: (Hier zeigt euch der Trennstrich hinter der Aufgabe, welche Rechenoperation ihr gerade ausführt.)

3X – 12 + 2X = 10X – 4
 
5X – 12         = 10X – 4/ + 12
5X                = 10X – 4 + 12

5X                = 10X + 8/ -10X
5X – 10X        =       +8

– 5X              =       8/ : (-5)
    X              =       8: (-5)

    X              =       – 1,6

Probe
, um zu überprüfen, ob ihr richtig gerechnet habt. Für jedes X setzt ihr also die errechnete Zahl (-1,6) ein:

3X – 12 + 2X = 10X – 4

3 * (-1,6) – 12 + 2 * (-1,6) = 10 * (-1,6) – 4
      -4,8   – 12 – 3,2           = – 16           – 4
                        – 20          = – 20

Da das Ergebnis auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens identisch ist, stimmt die Gleichung, man sagt dazu auch: sie ist wahr.

Mathematik ganz einfach – Rechnen so schnell wie ein Taschenrechner

In meinem Unterricht habe ich viel mit Schülern zu tun, die mit den bei uns vermittelten Rechenwegen Probleme haben. Deswegen bin ich immer auf der Suche nach Möglichkeiten, diesen Schülern andere Wege aufzuzeigen, wie sie eine Aufgabe ganz leicht lösen können. Auch ältere Schüler freuen sich, wenn sie etwas Neues lernen und dadurch viel sicherer und schneller werden.

Vor einiger Zeit habe ich die „Vedische Mathematik“ entdeckt, die sich wirklich lohnt, näher betrachtet zu werden. Im Folgenden stelle ich einige dieser indischen Lösungswege vor, die sich in der Praxis bewährt haben und sogar wahre Begeisterungsstürme bei meinen Schülern auslösen, weil sie plötzlich ziemlich selbstsicher rechnen können.

  • Einfaches Minusrechnen von jeder Zehnerpotenz

Die Regel lautet: „Alle von 9 und die letzte von 10“ und funktioniert so:

Beispiel a)

1000 – 789

           7 von 9  = 2
           8 von 9  = 1
           9 von 10 =1

Ergebnis: 211

Beispiel b)

100000 – 96753

               9 von 9  =  0
               6 von 9  =  3
               7 von 9  =  2
               5 von 9  =  4
               3 von 10 = 7

Ergebnis: 3247

Der Vorteil hierbei ist, dass man überhaupt nicht auf den sogenannten Zehnerübertrag achten muss, den ja viele beim herkömmlichen schriftlichen Minusrechnen vergessen, und dass man jede Minusaufgabe einer Zehnerpotenz ganz leicht im Kopf ausrechnen kann, sogar wenn man eine Zahl von 1.000000 abziehen soll. Das macht Eindruck!

  • Einfaches Multiplizieren mit 11

  • 1. Regel: Zweistellige Zahlen, ohne Zehnerübergang:

Die Regel lautet: Übernehmen AddierenÜbernehmen und funktioniert so:

11 x 53

Übernehmen: 5
Addieren: 5 + 3 = 8
Übernehmen: 3

Ergebnis:  5 8 3

  • 2. Regel: Zweistellige Zahlen mit Zehnerübergang:

11 x 87

Übernehmen: 8 (+1 ) = 9
Addieren: 8 + 7 = 15 (5 kommt an 2. Stelle der Lösung, die 1 wird zur 8 hinzugezählt)
Übernehmen: 7

Ergebnis: 9 5 7

  • 3. Regel: Mehrstellige Zahlen mit 11 multiplizieren:

Die Regel lautet: „Versetzt untereinander und addieren“ und funktioniert so:

Beispiel a), ohne Zehnerübergang:

5343 x 11

            5343
        +    5343
            58773

 Ergebnis: 58773    

Beispiel b), mit Zehnerübergang:

11 x 87435

        87435
     +   87435
        961785

Ergebnis: 961785

Hier muss man darauf achten, dass man beim Addieren die 1 für den Zehnerübergang mitzählt, wie man das ja bei jeder schriftlichen Plusaufgabe auch macht. Trotz dieses kleinen „Hindernisses“ rechnet es sich hiermit viel sicherer und schneller. Viel Spaß dabei!

Wie rechne ich Längen bloß um? – Die Stellentafel hilft

Ab etwa der 4. Klasse werden die Schüler zum ersten Mal mit dem Thema Maßeinheit konfrontiert. Viele haben gar keine Vorstellung davon, wie lang zum Beispiel 1m ist oder wie weit ein km. Umso verwirrter sind sie, wenn ihnen gesagt wird, dass beispielsweise 1km genauso lang wie 1000m sind. Hier gilt es grundsätzlich zunächst ein Verständnis für das Größenverhältnis zu schaffen.

Da das aber meistens mehr Zeit beansprucht als die Schüler haben, um sich auf eine Klassenarbeit zum Thema vorzubereiten, hilft vielen eine Stellentafel, an der sie, wenn ihnen der richtige Gebrauch erklärt wurde, ganz einfach die richtige Umrechnung ablesen können.

Drucken Sie die Stellentafel einfach aus und üben Sie mit Ihrem Kind!

Stellenwerttafel Laenge

Hat mein Kind eine Rechenschwäche? – Mythos Dyskalkulie

So manchen Eltern fällt irgendwann auf, dass ihr Kind Probleme mit dem Rechnen hat. Sei es, dass es auch in der 3. Klasse noch mit den Fingern rechnet, sei es, dass es kaum Verständnis für den Aufbau der Zahlen zeigt oder sei es, dass es das 1 X 1 auch nach der 10. Wiederholung immer noch nicht auswendig kann. Verständlicherweise machen wir uns dann Sorgen und fragen uns, ob mit unserem Kind etwas nicht „stimmt“.

Dann ist man heutzutage schnell mit dem Begriff Rechenschwäche oder Dyskalkulie konfrontiert. Man lässt sein Kind zahlreiche Tests durchlaufen, spricht mit etlichen Fachleuten aller Couleur und atmet als Eltern dann erleichtert auf, wenn die fast schon erlösende Diagnose tatsächlich kommt: Ihr Kind hat Dyskalkulie. Das ist, als würde ein Arzt sagen: Ihr Kind hat eine Bronchitis. Dem Kind wird eine Krankheit diagnostiziert und dann wird nach den geeignetsten Therapieverfahren gesucht.

Aber ist ein Kind tatsächlich „krank“, weil es das Zehnersystem nicht verstanden hat? Oder wird nur versucht, dem Kind einen Stempel aufzudrücken?

Hier verlinke ich zu einem sehr interessanten Interview, das meinen Erfahrungen mit meinen Nachhilfeschülern eher entspricht:

Quelle:

SPIEGEL ONLINE
 

Steckbriefaufgaben – So stellst du Gleichungssysteme auf

In der Oberstufe stehen sogenannte Steckbriefaufgaben auf dem Programm. Damit ist gemeint, dass aus vorgegebenen Eigenschaften eine oder mehrere Funktionen aufgestellt werden sollen. Oder anders gesagt, die in einem Text angegebenen Informationen müssen in mathematische Gleichungen übersetzt werden.

Vielen Schülern fällt es schwer, diese Informationen richtig umzusetzen. Deswegen findet ihr hier eine pdf-Datei mit „Übersetzung“:

Wörterbuch Steckbriefdeutsch